💻 MATLAB - 共轭梯度法：快速求解线性方程组的利器 🚀

导读共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种高效解决大规模稀疏矩阵线性方程组的经典算法。它在数值计算中扮演着重要角色，尤其是在...

共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种高效解决大规模稀疏矩阵线性方程组的经典算法。它在数值计算中扮演着重要角色，尤其是在工程、物理和机器学习等领域。如果你正在寻找一种既能节省内存又具备高精度的解决方案，那么MATLAB中的共轭梯度法无疑是你的首选！

🌟 MATLAB实现

在MATLAB中实现共轭梯度法非常方便。通过编写简单的脚本，你可以轻松调用内置函数或手动实现算法逻辑。例如，使用`pcg`函数可以直接求解形如Ax=b的问题，其中A为对称正定矩阵。以下是一个伪代码框架：

```matlab

% 定义输入参数

A = ...; % 对称正定矩阵

b = ...; % 等式右侧向量

x0 = zeros(size(b)); % 初始猜测值

% 调用共轭梯度法

[x, flag, relres] = pcg(A, b, tol, maxit);

disp(x); % 输出最终解

```

🎯 应用场景

无论是优化设计问题还是数据拟合任务，共轭梯度法都能提供卓越的性能。特别是在处理大型稀疏矩阵时，其迭代特性使得计算成本大幅降低。此外，通过调整容差值（tol）和最大迭代次数（maxit），你可以灵活控制结果精度与运行时间。

💡 小贴士

为了确保算法稳定性，请务必验证矩阵A是否满足对称正定条件。如果遇到非对称矩阵，可以考虑将其转化为对称形式后再应用此方法。