在概率论和统计学中，均匀分布是一种非常基础且重要的连续随机变量分布形式。它描述的是一个随机变量在某个区间内取值的可能性是相等的，因此也被称为矩形分布。

假设我们有一个随机变量X，其服从[a, b]区间的均匀分布，记作X~U(a, b)。这意味着对于任意位于[a, b]之间的x值，该随机变量取值的概率密度是相同的；而对于不在这个区间内的任何点，概率密度为零。

要确定均匀分布的概率密度函数f(x)，我们需要满足两个条件：

1. 在定义域[a, b]上，f(x)必须大于或等于0。

2. 随机变量在整个可能取值范围内的所有概率之和（即积分）必须等于1。

基于以上两点，可以得出均匀分布的概率密度函数形式如下：

\[ f(x) = \begin{cases}

\frac{1}{b-a}, & \text{if } x \in [a, b] \\

0, & \text{otherwise}

\end{cases} \]

这里的常数\(\frac{1}{b-a}\)确保了整个概率空间的积分为1，即：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_a^b \frac{1}{b-a}\,dx = 1 \]

通过这种方式，我们不仅定义了均匀分布的概率密度函数，还保证了它符合概率的基本性质。这种简单的数学表达使得均匀分布在实际应用中具有广泛的适用性，尤其是在模拟实验、随机采样等领域。