在数学学习中，我们经常会遇到一些关于除法的问题。其中一类问题是：已知商和余数，如何求出被除数和除数？这类问题虽然看似简单，但在实际应用中却非常常见，尤其是在编程、算法设计以及日常生活中的一些计算场景中。
那么，什么是商和余数呢？在整数除法中，当一个数（被除数）被另一个数（除数）除时，结果可以表示为：
被除数 = 除数 × 商 + 余数
这个公式是解决这类问题的核心。接下来，我们将详细讲解如何根据已知的商和余数来反推出被除数和除数。
一、已知商和余数，求被除数
如果已知商（q）和余数（r），但不知道被除数（a）和除数（b），那么我们可以利用上面的公式：
$$
a = b \times q + r
$$
但是，这里有一个关键点：余数必须小于除数，即 $ r < b $。因此，如果我们只知道商和余数，而没有其他信息，是无法唯一确定被除数和除数的。也就是说，可能存在多个符合条件的组合。
例如：
假设商为3，余数为2，那么可能的组合包括：
- 除数为4，被除数为 $ 4 \times 3 + 2 = 14 $
- 除数为5，被除数为 $ 5 \times 3 + 2 = 17 $
- 除数为6，被除数为 $ 6 \times 3 + 2 = 20 $
所以，在这种情况下，我们需要更多的信息才能准确地确定被除数和除数。
二、已知商、余数和被除数，求除数
如果我们知道商（q）、余数（r）和被除数（a），那么可以通过以下方式求出除数（b）：
$$
a = b \times q + r \Rightarrow b = \frac{a - r}{q}
$$
需要注意的是，这里的除法必须是整数除法，且余数必须满足 $ r < b $。
例如：
已知被除数为23，商为4，余数为3，那么除数为：
$$
b = \frac{23 - 3}{4} = \frac{20}{4} = 5
$$
验证一下：$ 5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23 $，正确。
三、已知商、余数和除数，求被除数
如果已知商（q）、余数（r）和除数（b），那么可以直接代入公式求出被除数（a）：
$$
a = b \times q + r
$$
例如：
已知除数为7，商为2，余数为1，则被除数为：
$$
a = 7 \times 2 + 1 = 14 + 1 = 15
$$
验证：$ 15 ÷ 7 = 2 $ 余1，正确。
四、总结
1. 基本公式：被除数 = 除数 × 商 + 余数
2. 余数的限制：余数必须小于除数
3. 单一条件不足：仅知道商和余数，无法唯一确定被除数和除数
4. 多条件结合：若已知被除数或除数中的一个，可进一步求解另一个
通过掌握这些基本原理和公式，我们可以轻松应对各种“已知商和余数求被除数和除数”的问题。在实际应用中，灵活运用这些方法，能够帮助我们更高效地解决问题，提升逻辑思维和数学能力。
