【频数的样本方差公式】在统计学中，方差是衡量一组数据与其平均值之间差异程度的重要指标。当数据以频数形式出现时，即某些数值重复出现多次，我们需要使用专门的公式来计算其样本方差。以下是对“频数的样本方差公式”的总结，并通过表格形式展示关键内容。
一、基本概念
- 频数：指某一数值在数据集中出现的次数。
- 样本方差：反映样本数据波动大小的统计量，用于估计总体方差。
- 加权平均：在频数分布中，每个数值乘以其出现的次数（即频数），再求和除以总个数。
二、频数的样本方差公式
当数据以频数形式呈现时，样本方差的计算公式如下：
$$
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
| 符号 | 含义 |
| $ s^2 $ | 样本方差 |
| $ n $ | 总样本数（即所有频数之和） |
| $ k $ | 不同数值的个数 |
| $ f_i $ | 第 $ i $ 个数值的频数 |
| $ x_i $ | 第 $ i $ 个数值 |
| $ \bar{x} $ | 样本均值 |
此外，也可以通过另一种方式计算，即先计算加权平均值，再计算方差：
$$
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n}
$$
然后代入上述方差公式。
三、计算步骤
1. 列出每个数值及其对应的频数；
2. 计算样本均值 $ \bar{x} $；
3. 对每个数值，计算其与均值的差的平方；
4. 将该平方值乘以对应频数；
5. 求和后除以 $ n - 1 $ 得到样本方差。
四、示例说明
假设某班学生数学成绩的频数分布如下：
| 成绩 $ x_i $ | 频数 $ f_i $ |
| 60 | 2 |
| 70 | 3 |
| 80 | 4 |
| 90 | 1 |
步骤1：计算总样本数
$ n = 2 + 3 + 4 + 1 = 10 $
步骤2：计算样本均值
$$
\bar{x} = \frac{(60×2) + (70×3) + (80×4) + (90×1)}{10} = \frac{120 + 210 + 320 + 90}{10} = \frac{740}{10} = 74
$$
步骤3：计算方差
$$
s^2 = \frac{1}{10 - 1} \left[ 2×(60 - 74)^2 + 3×(70 - 74)^2 + 4×(80 - 74)^2 + 1×(90 - 74)^2 \right
$$
$$
= \frac{1}{9} \left[ 2×196 + 3×16 + 4×36 + 1×256 \right] = \frac{1}{9} (392 + 48 + 144 + 256) = \frac{840}{9} ≈ 93.33
$$
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{n} $ |
| 应用场景 | 数据以频数形式出现时，如考试成绩、调查结果等 |
| 特点 | 考虑了不同数值的出现频率，适用于离散数据 |
| 注意事项 | 分母为 $ n - 1 $，用于无偏估计 |
六、结语
在实际应用中，频数的样本方差公式是一种非常实用的工具，尤其在处理分类或分组数据时。正确使用该公式可以更准确地描述数据的离散程度，为后续分析提供基础。理解并掌握这一方法，有助于提升数据分析能力。
