【商的导数公式是什么】在微积分中，求函数的导数是研究函数变化率的重要工具。当两个函数相除时，我们通常需要使用“商的导数法则”来计算其导数。这个法则也被称为“商法则”，它是微分学中的基本内容之一。
一、商的导数公式总结
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简记为：分子导乘分母减去分子乘分母导，再除以分母的平方。
二、商的导数公式表格
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ |
| 导数公式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 公式口诀 | 分子导乘分母，减去分子乘分母导，再除以分母的平方 |
| 使用条件 | $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均可导，且 $ v(x) \neq 0 $ |
| 应用场景 | 求两个函数相除后的导数，如 $ \frac{\sin x}{\cos x} $、$ \frac{x^2 + 1}{x - 3} $ 等 |
三、举例说明
例如，已知 $ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $，求其导数：
- $ u(x) = x^2 $，则 $ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x + 1 $，则 $ v'(x) = 1 $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}
$$
四、注意事项
- 商法则适用于所有可导的函数相除的情况。
- 如果分母为常数，可以直接使用幂法则或直接求导。
- 在实际应用中，有时可以通过简化表达式后再使用商法则，以减少计算量。
通过掌握商的导数公式，我们可以更高效地处理复杂的函数求导问题。它是学习微积分过程中不可或缺的一部分。
