在数学中，三角函数是研究角与边之间关系的重要工具。而sin（正弦）函数则是其中一个基础且广泛应用的部分。当我们提到sin105°时，实际上是在探讨一个特定角度的正弦值。

sin105°的基本概念

105°是一个位于第二象限的角度，其基本定义为90°+15°。根据三角函数的性质，在第二象限内，正弦值为正值。因此，我们可以利用这一特性来简化计算过程。

如何计算sin105°？

要准确求出sin105°的具体数值，通常采用以下两种方法：

方法一：分解法

通过将105°拆分为两个已知角度之和，即：

\[ \sin 105^\circ = \sin (90^\circ + 15^\circ) \]

根据三角恒等式：

\[ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \]

代入具体数值：

\[ \sin 105^\circ = \sin 90^\circ \cos 15^\circ + \cos 90^\circ \sin 15^\circ \]

由于 \(\sin 90^\circ = 1\) 和 \(\cos 90^\circ = 0\)，上式进一步简化为：

\[ \sin 105^\circ = 1 \cdot \cos 15^\circ + 0 \cdot \sin 15^\circ = \cos 15^\circ \]

接下来，我们需要知道 \(\cos 15^\circ\) 的精确值。同样使用分解法：

\[ \cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) \]

利用公式：

\[ \cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

得到：

\[ \cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \]

代入已知数据 \(\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)，则：

\[ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

因此：

\[ \sin 105^\circ = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

方法二：查表或计算器

如果不需要推导过程，可以直接使用科学计算器或查阅标准三角函数表，得出结果为：

\[ \sin 105^\circ \approx 0.9659 \]

应用场景

正弦函数广泛应用于物理学、工程学以及建筑学等领域。例如，在机械设计中，需要计算某些部件之间的夹角；在天文学中，则用于描述星体位置的变化。掌握像sin105°这样的特殊角度的值，能够帮助我们更高效地解决实际问题。

总之，无论是通过理论推导还是借助现代工具，我们都能够轻松找到sin105°的确切答案——它等于 \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)，约等于0.9659。希望本文能为大家提供清晰的理解和实用的帮助！