【高中复合函数求导公式】在高中数学中，复合函数的求导是微积分学习的重要内容之一。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导需要用到“链式法则”。掌握复合函数的求导方法，有助于解决更复杂的函数问题，尤其是在应用题和综合题中。
下面是对高中阶段常见的复合函数求导公式的总结，并以表格形式进行展示，帮助学生清晰理解与记忆。
一、复合函数的基本概念
复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入所构成的函数。例如，若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。
二、复合函数求导公式（链式法则）
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
即：外层函数的导数乘以内层函数的导数。
三、常见复合函数类型及求导公式
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ y' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数型复合函数，n 为常数 |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ y' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数型复合函数 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x)} $ | 对数函数型复合函数 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ y' = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 三角函数型复合函数 |
| $ y = \cos(f(x)) $ | $ y' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x) $ | 三角函数型复合函数 |
| $ y = \tan(f(x)) $ | $ y' = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x) $ | 三角函数型复合函数 |
| $ y = a^{f(x)} $（a>0） | $ y' = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x) $ | 指数函数型复合函数 |
四、使用技巧与注意事项
1. 分层分析：先确定外层函数和内层函数，再分别求导。
2. 逐层计算：按照从外到内的顺序依次求导并相乘。
3. 注意定义域：某些函数如对数、根号等，需考虑定义域限制。
4. 简化表达式：在求导后，尽量将结果化简为最简形式。
五、示例解析
例1：求 $ y = (2x + 1)^3 $ 的导数
解：设 $ u = 2x + 1 $，则 $ y = u^3 $
$ \frac{dy}{du} = 3u^2 $，$ \frac{du}{dx} = 2 $
所以 $ \frac{dy}{dx} = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2 $
例2：求 $ y = \ln(\sin x) $ 的导数
解：设 $ u = \sin x $，则 $ y = \ln u $
$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u} $，$ \frac{du}{dx} = \cos x $
所以 $ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $
六、总结
复合函数的求导是高中数学中的一项基本技能，熟练掌握链式法则及其应用，能够帮助学生更好地应对各类函数求导问题。通过表格形式的整理，可以更直观地理解和记忆不同类型的复合函数对应的求导公式，提高学习效率。
建议多做练习题，结合具体例子加深理解，逐步提升解题能力。
